全国2007年10月高等教育自学考试

线性代数试题

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设矩阵A，B，C为同阶方阵，则（ABC）T=（　　　）
A．ATBTCT B．CTBTAT
C．CTATBT D．ATCTBT
2．设行列式 =1， =2，则 =（　　　）
A．-3 B．-1
C．1 D．3
3．设A为3阶方阵，且已知|-2A|=2，则|A|=（　　　）
A．1 B．
C．-  D．-1
4．设A为2阶可逆矩阵，且已知（2A）-1=  ，则A=（　　　）
A．2  B．2
C．  D．
5．设向量组α1，α2，…，αs线性相关，则必可推出（　　　）
A．α1，α2，…，αs中至少有一个向量为零向量
B．α1，α2，…，αs中至少有两个向量成比例
C．α1，α2，…，αs中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合
D．α1，α2，…，αs中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合
6．设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（　　　）
A．A的列向量组线性无关 B．A的列向量组线性相关
C．A的行向量组线性无关 D．A的行向量组线性相关
7．设A为3阶矩阵，且已知|3A+2E|=0，则A必有一个特征值为（　　　）
A．  B．
C．  D．
8．设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2，2，3. 则|B-1|=（　　　）
A．  B．
C．7 D．12
9．二次型 的矩阵为（　　　）
A．  B．
C．  D．
10．设3阶实对称矩阵A与矩阵B= 合同，则二次型xTAx的规范形为（　　　）
A．  B．
C．  D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11．行列式 =_____________.
12．设矩阵A= ，B= ，则A+2B=_____________.
13．设2阶矩阵A= ，则A*A=_____________.
14．设3阶矩阵A= ，则（AT）-1=_____________.
15．设向量α1=(1，1，1)T，α2=(1，1，0)T，α3=(1，0，0)T，β=(0，1，1)T，则β由α1，α2，α3线性表出的表示式为_____________.
16．已知3元齐次线性方程组 有非零解，则a=_____________.
17．设α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的解，k1，k2为常数，若k1α1+ k2α2也是Ax=b的一个解，则k1+k2=_____________.
18．设A为n阶可逆矩阵，已知A有一个特征值为2，则（2A）-1必有一个特征值为_____________.
19．二次型 的秩为_____________.
20．若实对称矩阵A= 为正定矩阵，则a的取值应满足_____________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．求4阶行列式 的值.
22．设2阶矩阵A可逆，且A-1= ，对于矩阵P1= ，P2= ，令B=P1AP2，求B-1.
23．设向量α=（1，2，3，4），β=（1，-1，2，0），求
 （1）矩阵αTβ；
 （2）向量α与β的内积（α，β）.
24．设向量组α1=（1，1，1，3）T，α2=（-1，-3，5，1）T，α3=（3，2，-1，t+2）T，
α4=（-2，-6，10，t）T，试确定当t为何值时，向量组α1，α2，α3，α4线性相关，并在线性相关时求它的一个极大线性无关组.
25．设线性方程组
        
 （1）问a为何值时，方程组有无穷多个解；
 （2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解
系表示）.
26．求3阶矩阵A= 的全部实特征值和对应的全部特征向量.
四、证明题（本大题6分）
27．设α1，α2依次为n阶矩阵A的属于特征值λ1，λ2的特征向量，且λ1≠λ2.
证明α1-α2不是A的特征向量.

更多资料尽在四联自考论坛（http://bbs.4lzx.com），转贴请保留此信息。